紐英倫園地: 科學與信仰奇妙的數學

2014年8月
文／黃小石

匈牙利物理學家尤金．維格納說：「數學能如此簡潔地陳述物理定律的奇蹟，是我們不配得、也不明白的奇妙禮物。」

◎黃氏多角形定理

初中寒假，在懶洋洋的清早，我躲在被窩裡捨不得起床。呆呆地望著窗外晦澀的天空，樹枝從窗子的右上方劃過，顯出一個五角形。望著那隨風移動的五角形，忽然悟到：任何一個五角形的內角和，必然是540 度，因為它總是由三個三角形形成，而每個三角形的內角和總是180 度！

我急忙地起床，在紙頭上畫些其他的多邊形，然後將它們分割成不重疊的三角形，接著就發現一個漂亮的定理：任何凸變形的內角和，必是180x（n-2）度。這將稱為有名的「黃氏多角形定理」。

我跑到學校告訴老師。老師說很好，但這定理早已存在，且是眾所周知的事。我大失所望，怎麼這麼巧，我想出來的定理別人早想出來？老師又問我，能否證明這定理總是對的。我想，這顯而易見的事哪還要證明？

可是，真要確實地證明這定理，卻不是容易的事。當時，我似懂非懂地了解了一件事：人只是「發現」了數學定理，但卻需「發明」證明這定理的方法。比方我們相信任何偶數都可寫成兩個質數的和，例如：8=5+3，但至今還沒人能證明這是個定理。

◎恰似考古學家

數學定理似乎是「自己存在」的，我們可以看到（相信）它，但不見得能了解（證明）它。在許多古文明中，都有數學方面的研究。粗略來看，抽象的數學像是人類思想的結晶，但不同的人所得出的結論卻都一樣。比方中國《周髀算經》中的「勾股定理」，提出直角三角形「勾三股四弦五」的道理：直邊（勾與股）的邊長分別為三與四，斜邊（弦）邊長便必然是五，並指出「勾股各自乘，並之，為弦實；開方除之，即弦」的通例。直角三角形的特質，如：直邊平方和等於斜邊平方的基本定理，在古巴比倫、古埃及、古希臘等文明中亦曾論述，其中最有名的便是公元前六世紀希臘的畢達哥拉斯定理(Pythagoras Theorem)。

人們在不同的地方、時間、文化中，導出的數學定理都一樣，而且幾千年來沒有改變，既說明這是人類共同的發現，也說明數學定理早已存在，並不會因時間長遠而變更。1983 年諾貝爾物理獎得主昌德拉塞卡 (Subrahmanyan Chandrasekhar) 曾說：「每當我發現一個新的定理，都覺得這些真理本已存在，只不過被我撿到罷了。」這樣，科學家便有點像考古學家──挖掘出宇宙中隱藏的寶貝。

◎宇宙通用語文

許多人相信，外太空人的數學也與我們一樣，所以數學可算是「宇宙通用語文」。伽利略曾說：「『哲學』的語文是數學。」英國理論物理學家巴羅(John D Barrow) 教授指出：「我們對『自然』最準確的陳述，都是數學的論說，但我們卻不知道數學到底是什麼。」

何以人的理性抽象思考與自然界的真實現象，有這麼密切的關係？理性與自然，似乎同出一源。愛因斯坦的「質能轉換公式(E=MC2)」準確地反映出自然界最基本的運作；狄拉克公式預測「反電子（正子）」的存在，是他本人都難以相信的發現……

為此，維格納博士感恩地說：「數學用在自然科學上，何以竟有如此驚人的效用？……數學能如此簡潔地陳述物理定律的奇蹟，是我們不配得也不明白的奇妙禮物。」愛因斯坦也說：「數學只不過是一種人類思想的產物，與他的經歷並沒有關係，卻怎麼會與實存配合得如此精美緊密？」麻省理工學院物理學家特格瑪克(Max Tegmark) 則認為，宇宙不只是藉著數學來陳述，它本身便是數學。